Đề thi HSG Toán 11 cụm Quận Ba Đình-Hà Nội. | De thi HSG Toan 11 cum Quan Ba Dinh Ha Noi - TOÁN THPT - ÔN THI ĐH VÀ HỌC SINH GIỎI
Toán THPT, Ôn thi Đại Học môn Toán, Ôn thi Học sinh Giỏi Toán



toan thpt - on thi dai hoc va hoc sinh gioi Trang Chủ toan thpt - on thi dai hoc va hoc sinh gioiÔn thi Đại Học toan thpt - on thi dai hoc va hoc sinh gioiÔn Thi Học Sinh Giỏi toan thpt - on thi dai hoc va hoc sinh gioiHướng Dẫn toan thpt - on thi dai hoc va hoc sinh gioi Wolframalpha toan thpt - on thi dai hoc va hoc sinh gioi Print2flash toan thpt - on thi dai hoc va hoc sinh gioiĐăng kí thành viên
 



toan thpt - on thi dai hoc va hoc sinh gioi   TOÁN THPT - ÔN THI ĐH VÀ HỌC SINH GIỎI THẢO LUẬN CÁC DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI VÀ OLYMPIC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN Đề thi học sinh giỏi Tỉnh - Thành Phố

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

VUI LÒNG ĐỌC TRƯỚC KHI THAM GIA VIẾT BÀI

  1. Sử dụng tiếng Việt có dấu, viết hoa đầu câu.
  2. Viết bài đúng Box, đặt tiêu đề đúng quy định - Xem
  3. Hướng dẫn chèn công thức Toán vào bài viết - Xem
  4. Hướng dẫn vẽ hình và đưa hình vẽ vào bài viết - Xem 
  5. Những lỗi vi phạm nào sẽ bị Ban Quản Trị ban nick - Xem 

  #1  
Cũ 23-03-2013, 18:40
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 30 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 146 / 733
Điểm: 405 / 3240
Kinh nghiệm: 35%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.216
Đã cảm ơn : 1.543
Được cảm ơn 2.899 lần trong 907 bài viết

Lượt xem bài này: 2421
Mặc định Đề thi HSG Toán 11 cụm Quận Ba Đình-Hà Nội.

HSG TOÁN 11 CỤM QUẬN BA ĐÌNH -HÀ NỘI

Thời gian làm bài 150 phút
Thi ngày 13/03/2013
--------------------------
BÀI I
1.Giải phương trình lượng giác
$$\left(\cos x +7\sin x \right)\sqrt{\sin x}=\left(\cos x+3\sin x \right)\sqrt{\cos x+3\sin x}$$
2.Tìm giới hạn
$$L=\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt[3]{2x+6}+3\sqrt{{x}^{2}+x-1}-5\sqrt[4]{2{x}^{2}-1}}{1-x}$$
BÀI II
Cho dãy số $({u}_{n})$ xác định bởi $\begin{cases}{u}_{1}=\sqrt{2}\\{u}_{n+1}=\sqrt{2-\sqrt{4-{{u}_{n}}^{2}}},n\in {N}^{*}\end{cases}$
1.Xác định tính bị chặn của dãy số $\left({u}_{n} \right)$
2.Tìm số hạng tổng quát của dãy số
BÀI III
Trong khônggian Oxyz cho ba tia Ox,Oy,Oz không đồng phẳng.Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi Oxvà Oy,$\beta $ là góc tạo bởi Oy và Oz,$\gamma $ l à góc tạo bởi Oz và Ox.Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=a
a) Khi $\alpha =\beta =\gamma ={60}^{0}$, gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp(Oxy).Chứng minh OH là phân giác của góc yOz và tính AH theo a
b) Khi $\alpha =\beta =\gamma $ lấy M, N lần lượt là hai điểm cố định trên Oy, Oz sao cho OM=ON=b không đổi .Tìm A trên Ox để diện tích tam giác AMN nhỏ nhất
c)Chứng minh:
$2\sqrt{3}cos\alpha +2cos\beta +\sqrt{3}cos\gamma >-4$
BÀI IV .Cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=abc.Tìm GTNN của biểu thức
$$F=\dfrac{{a}^{4}}{\left({a}^{2}+{b}^{2} \right)\left(a+b \right)}+\dfrac{{b}^{4}}{\left({b}^{2}+{c}^{2} \right)\left(b+c \right)}+\dfrac{{c}^{4}}{\left({c}^{2} +{a}^{2}\right)\left(a+c \right)}$$

------------------------------------------------------------Hết----------------------------------------------------

 

 

Có thể bạn quan tâm đến các chủ đề sau đây :




Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
2 thành viên sau đã cảm ơn Lê Đình Mẫn cho bài viết này :
hbtoanag (23-03-2013), unknowing (23-03-2013)
  #2  
Cũ 23-03-2013, 18:54
Avatar của hbtoanag
hbtoanag hbtoanag đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Long Kiến, An Giang
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 15 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 35 / 355
Điểm: 88 / 1371
Kinh nghiệm: 22%

Thành viên thứ: 2166
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 265
Đã cảm ơn : 587
Được cảm ơn 724 lần trong 233 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
HSG TOÁN 11 CỤM QUẬN BA ĐÌNH -HÀ NỘI

Thời gian làm bài 150 phút
Thi ngày 13/03/2013
--------------------------

BÀI II
Cho dãy số $({u}_{n})$ xác định bởi $\begin{cases}{u}_{1}=\sqrt{2}\\{u}_{n+1}=\sqrt{2-\sqrt{4-{{u}_{n}}^{2}}},n\in {N}^{*}\end{cases}$
1.Xác định tính bị chặn của dãy số $\left({u}_{n} \right)$
2.Tìm số hạng tổng quát của dãy số
Lâu rồi không làm dãy, chém dãy cái .

Ta có ${{u}_{1}}=2\sin \frac{\pi }{4}$, ${{u}_{2}}=\sqrt{2-\sqrt{4-4{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{{{2}^{2}}}}}=\sqrt{2-2\cos \frac{\pi }{4}}=2\sin \frac{\pi }{{{2}^{3}}}$.

Quy nạp được ${{u}_{n}}=2\sin \frac{\pi }{{{2}^{n+1}}}$.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
2 thành viên sau đã cảm ơn hbtoanag cho bài viết này :
Lê Đình Mẫn (23-03-2013), ngonnentruocgio (23-03-2013)
  #3  
Cũ 23-03-2013, 19:29
Avatar của hthtb22
hthtb22 hthtb22 đang ẩn
$\mathscr{H.T.H}$
Đến từ: THPT Chuyên THái Bình
Nghề nghiệp: H/S
Sở thích: Toán
 
Cấp bậc: 13 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 319
Điểm: 72 / 1220
Kinh nghiệm: 78%

Thành viên thứ: 2345
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 218
Đã cảm ơn : 149
Được cảm ơn 463 lần trong 156 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
1.Giải phương trình lượng giác
$$\left(\cos x +7\sin x \right)\sqrt{\sin x}=\left(\cos x+3\sin x \right)\sqrt{\cos x+3\sin x}$$
Chia cả 2 vế cho $sin x.\sqrt{x}$ ta có:
$$(\cot x+7)=(\cot x+3)\sqrt{\cot x+3}$$
Đặt $\cot x=t$
Ta đưa phương trình bậc 3:
$(t+7)=(t+3)\sqrt{t+3}$
$\Leftrightarrow t^2+14t+49=t^3+9t^2+27+27$
$\Leftrightarrow (t-1)(t^2+9t-5)=0$
Ok


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
2 thành viên sau đã cảm ơn hthtb22 cho bài viết này :
Lê Đình Mẫn (23-03-2013), ngonnentruocgio (23-03-2013)
  #4  
Cũ 23-03-2013, 19:31
Avatar của hungchng
hungchng hungchng đang online
Hỗ trợ LaTex
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 53 / 534
Điểm: 198 / 2407
Kinh nghiệm: 37%

Thành viên thứ: 799
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 596
Đã cảm ơn : 21
Được cảm ơn 1.698 lần trong 456 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi hthtb22 Xem bài viết
Chia cả 2 vế cho $sin x.\sqrt{x}$ ta có:
$$(\cot x+7)=(\cot x+3)\sqrt{\cot x+3}$$
Đặt $\cot x=t$
Ta đưa phương trình bậc 3:
$(t+7)=(t+3)\sqrt{t+3}$
$\Leftrightarrow t^2+14t+49=t^3+9t^2+27+27$
$\Leftrightarrow (t-1)(t^2+9t-5)=0$
Ok
Chia cả 2 vế cho $\sin x.\sqrt{\sin x}$ chứ.



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
2 thành viên sau đã cảm ơn hungchng cho bài viết này :
Lê Đình Mẫn (23-03-2013), ngonnentruocgio (23-03-2013)
  #5  
Cũ 23-03-2013, 19:51
Avatar của ngonnentruocgio
ngonnentruocgio ngonnentruocgio đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Th Thủy - Thanh Chươn
Nghề nghiệp: gooner arsenal
Sở thích: không cố định.
 
Cấp bậc: 6 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 138
Điểm: 19 / 627
Kinh nghiệm: 55%

Thành viên thứ: 791
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 59
Đã cảm ơn : 134
Được cảm ơn 36 lần trong 17 bài viết

Mặc định

Đề hsg là phải. không hiểu gì.
Đề thi HSG Toán 11 cụm Quận Ba Đình-Hà Nội.

Nguyên văn bởi hbtoanag Xem bài viết
Lâu rồi không làm dãy, chém dãy cái .

Ta có ${{u}_{1}}=2\sin \frac{\pi }{4}$, ${{u}_{2}}=\sqrt{2-\sqrt{4-4{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{{{2}^{2}}}}}=\sqrt{2-2\cos \frac{\pi }{4}}=\sin \frac{\pi }{{{2}^{3}}}$.

Quy nạp được ${{u}_{n}}=\sin \frac{\pi }{{{2}^{n+1}}}$.
hay quá
Đề thi HSG Toán 11 cụm Quận Ba Đình-Hà Nội.

Nguyên văn bởi hbtoanag Xem bài viết
Lâu rồi không làm dãy, chém dãy cái .

Ta có ${{u}_{1}}=2\sin \frac{\pi }{4}$, ${{u}_{2}}=\sqrt{2-\sqrt{4-4{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{{{2}^{2}}}}}=\sqrt{2-2\cos \frac{\pi }{4}}=\sin \frac{\pi }{{{2}^{3}}}$.

Quy nạp được ${{u}_{n}}=\sin \frac{\pi }{{{2}^{n+1}}}$.
Hình như đ/a sai


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #6  
Cũ 23-03-2013, 21:10
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 30 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 146 / 733
Điểm: 405 / 3240
Kinh nghiệm: 35%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.216
Đã cảm ơn : 1.543
Được cảm ơn 2.899 lần trong 907 bài viết

Mặc định

BÀI II
Cho dãy số $({u}_{n})$ xác định bởi
$\begin{cases}{u}_{1}=\sqrt{2}\\{u}_{n+1}=\sqrt{2-\sqrt{4-{{u}_{n}}^{2}}},n\in {N}^{*}\end{cases}$
1.Xác định tính bị chặn của dãy số $\left({u}_{n} \right)$
2.Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
1. Ta có \[u_{n+1}=\sqrt{2-\sqrt{4-{u_n}^{2}}}\iff \dfrac{u_{n+1}^2}{u_n^2}= \dfrac{1}{2+\sqrt{4-u_n^2}}\le \dfrac{1}{2}\]
Do đó $(u_n)$ là dãy giảm và $0<u_n<u_1=\sqrt{2}.$
2. Ta có $u_1=\sqrt{2}.$ Giả sử $u_k= 2 - \mathop {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ...} } } }\limits_{k - 1\text{ dấu căn}},\ k> 1,k\in N.$ Khi đó
\[4-u_{k}^2 = 2 + \mathop {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ...} } } }\limits_{k - 1\text{ dấu căn}}
\iff u_{k+1}=2- \sqrt{4-u_{k}^2}=2- \mathop {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ...} } } }\limits_{k \text{ dấu căn}}\]
Vậy $u_n=2 - \mathop {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ...} } } }\limits_{n-1\text{ dấu căn}}$

******************
BÀI IV .Cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=abc.Tìm GTNN của biểu thức
$F=\dfrac{{a}^{4}}{\left({a}^{2}+{b}^{2} \right)\left(a+b \right)}+\dfrac{{b}^{4}}{\left({b}^{2}+{c}^{2} \right)\left(b+c \right)}+\dfrac{{c}^{4}}{\left({c}^{2} +{a}^{2}\right)\left(a+c \right)}$
Đặt $x= \dfrac{1}{a},\ y= \dfrac{1}{b},\ z= \dfrac{1}{c}.$ Bài toán tương đương với bài toán sau:
Cho các số thực dương thỏa $x+y+z=1$. Tìm GTNN của biểu thức \[F= \dfrac{y^3}{x(x^2+y^2)(x+y)}+ \dfrac{z^3}{y(y^2+z^2)(y+z)}+ \dfrac{x^3}{z(z^2+x^2)(z+x)}\]
Để lời giải được gọn gàng tôi dùng kí hiệu $\sum$ tức là tổng các hoán vị của ba biến $x,y,z$. Ta có
\[\begin{aligned}F&= \sum \left(\dfrac{1}{x}- \dfrac{x^2+xy+y^2}{(x^2+y^2)(x+y)}\right)\\
&= \sum \left(\dfrac{1}{x}- \dfrac{1}{x+y}- \dfrac{xy}{(x^2+y^2)(x+y)}\right)\\
&\ge_{AM-GM} \sum \left(\dfrac{1}{x}- \dfrac{1}{x+y}- \dfrac{1}{2(x+y)}\right)\\
&= \sum \left [ \dfrac{1}{x}- \dfrac{3}{2(x+y)}\right ] \\
&\ge_{AM-GM}\sum \left [ \dfrac{1}{x}- \dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}\right)\right ] \\
&= \dfrac{1}{4x}+ \dfrac{1}{4y}+ \dfrac{1}{4z}\ge \dfrac{9}{4(x+y+z)}= \dfrac{9}{4} \end{aligned}\]
Vậy \[\boxed{\min F = \dfrac{9}{4}\iff x=y=z= \dfrac{1}{3}\iff a=b=c=3.}\]



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
8 thành viên sau đã cảm ơn Lê Đình Mẫn cho bài viết này :
bapngot15 (14-04-2013), cib (12-02-2014), hbtoanag (23-03-2013), Lưỡi Cưa (23-03-2013), MTTM (05-11-2013), Nguyễn Bình (23-03-2013), tndmath (28-08-2013), wakeup (23-03-2013)
  #7  
Cũ 26-09-2013, 09:37
Avatar của quynhanhbaby
quynhanhbaby quynhanhbaby đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: Thanh Chương-Nghệ An
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 7 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 158
Điểm: 23 / 1033
Kinh nghiệm: 34%

Thành viên thứ: 54
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Bài gửi: 71
Đã cảm ơn : 61
Được cảm ơn 117 lần trong 49 bài viết

Mặc định Re: Đề thi HSG Toán 11 cụm Quận Ba Đình-Hà Nội.

Thầy ơi, cho xin cái file đề ạ.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #8  
Cũ 26-09-2013, 22:13
Avatar của LeNhatDuy09
LeNhatDuy09 LeNhatDuy09 đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: Thành phố Cao Lãnh, tỉnh Đồng Tháp
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán là mãi mãi
 
Cấp bậc: 11 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 261
Điểm: 51 / 1025
Kinh nghiệm: 46%

Thành viên thứ: 1923
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 154
Đã cảm ơn : 87
Được cảm ơn 152 lần trong 57 bài viết

Mặc định Re: Đề thi HSG Toán 11 cụm Quận Ba Đình-Hà Nội.

Mấy thầy tổng hợp kết quả giúp tụi em được không ạ!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #9  
Cũ 27-09-2013, 01:11
Avatar của LeNhatDuy09
LeNhatDuy09 LeNhatDuy09 đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: Thành phố Cao Lãnh, tỉnh Đồng Tháp
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán là mãi mãi
 
Cấp bậc: 11 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 261
Điểm: 51 / 1025
Kinh nghiệm: 46%

Thành viên thứ: 1923
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 154
Đã cảm ơn : 87
Được cảm ơn 152 lần trong 57 bài viết

Mặc định Re: Đề thi HSG Toán 11 cụm Quận Ba Đình-Hà Nội.

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
1. Ta có \[u_{n+1}=\sqrt{2-\sqrt{4-{u_n}^{2}}}\iff \dfrac{u_{n+1}^2}{u_n^2}= \dfrac{1}{2+\sqrt{4-u_n^2}}\le \dfrac{1}{2}\]
Do đó $(u_n)$ là dãy giảm và $0<u_n<u_1=\sqrt{2}.$
2. Ta có $u_1=\sqrt{2}.$ Giả sử $u_k= 2 - \mathop {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ...} } } }\limits_{k - 1\text{ dấu căn}},\ k> 1,k\in N.$ Khi đó
\[4-u_{k}^2 = 2 + \mathop {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ...} } } }\limits_{k - 1\text{ dấu căn}}
\iff u_{k+1}=2- \sqrt{4-u_{k}^2}=2- \mathop {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ...} } } }\limits_{k \text{ dấu căn}}\]
Vậy $u_n=2 - \mathop {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ...} } } }\limits_{n-1\text{ dấu căn}}$

******************


Đặt $x= \dfrac{1}{a},\ y= \dfrac{1}{b},\ z= \dfrac{1}{c}.$ Bài toán tương đương với bài toán sau:

Để lời giải được gọn gàng tôi dùng kí hiệu $\sum$ tức là tổng các hoán vị của ba biến $x,y,z$. Ta có
\[\begin{aligned}F&= \sum \left(\dfrac{1}{x}- \dfrac{x^2+xy+y^2}{(x^2+y^2)(x+y)}\right)\\
&= \sum \left(\dfrac{1}{x}- \dfrac{1}{x+y}- \dfrac{xy}{(x^2+y^2)(x+y)}\right)\\
&\ge_{AM-GM} \sum \left(\dfrac{1}{x}- \dfrac{1}{x+y}- \dfrac{1}{2(x+y)}\right)\\
&= \sum \left [ \dfrac{1}{x}- \dfrac{3}{2(x+y)}\right ] \\
&\ge_{AM-GM}\sum \left [ \dfrac{1}{x}- \dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}\right)\right ] \\
&= \dfrac{1}{4x}+ \dfrac{1}{4y}+ \dfrac{1}{4z}\ge \dfrac{9}{4(x+y+z)}= \dfrac{9}{4} \end{aligned}\]
Vậy \[\boxed{\min F = \dfrac{9}{4}\iff x=y=z= \dfrac{1}{3}\iff a=b=c=3.}\]
Thầy có thể phân tích cách làm bài BDT này được không ạ!!! Từ việc đặt ẩn cho tới việc tách như vậy!!!
$$ \dfrac{1}{x}- \dfrac{x^2+xy+y^2}{(x^2+y^2)(x+y)}$$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
Đìnhhà, Đề, đề thi hsg toán 11 cụm thành phố hà nội, cụm, hsg toán 11 hà nội, hsg toán11 hà nội, nội, quận, thi hsg, toán
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



ngày

DIỄN ĐÀN TOÁN THPT K2PI.NET
Xây dựng trên mã nguồn vBulletin® v3.8.4 - 12.2011


[page compression: 119.40 k/135.70 k (12.02%)]
Khách