PDA

Xem phiên bản đầy đủ : Bất đẳng thức - Cực trị


Trang : [1] 2 3

  1. Bài toán không có lời giải ?
  2. BĐT chọn đội tuyển Nghệ An năm 2012-2013
  3. Chứng rằng với $0<x_1<x_2<\dfrac{\pi}{2}$, ta có $\frac{\tan x_2}{\tan x_1}>\frac{x_1}{x_2}$
  4. Câu VI - Đề thi HSG Tỉnh Vĩnh Phúc
  5. Câu 6-đề thi học sinh giỏi Cà Mau
  6. Chứng minh : $\frac{x^n(x{}^{n+1}+1)}{x^n+1}\leq (\frac{x+1}{2}){}^{2n+1}$
  7. Câu I.2-Đề kiểm tra đội tuyển HSG trường THPT-Hà Huy Tập lần 1
  8. Câu III.2- Đề kiểm tra đội tuyển HSG trường THPT-Hà Huy Tập lần 1
  9. Chứng minh $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \ge 9\sqrt{abc}$ với $a,b,c>0$ thoả mãn $a^3+b^3+c^3=3.$
  10. Câu 5-Đề thi học sinh giỏi Hà Tĩnh năm 2012-2013
  11. Bất đẳng thức :So sánh hai số thực a,b biết rằng chúng đồng thời thỏa mãn những điều kiện sau đây. $7^{a}+5^{b}=13^{a}\left(1 \right)$ và$8^{a}+11^{b}=18^{b}$
  12. Câu V Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thái Bình năm 2012-2013
  13. [Câu 3] Đề thi KSCL HSG trường Quỳnh Lưu II Nghệ An
  14. Câu V. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2013.
  15. GTLN: $P=\cos2A+\cos2B+2013\cos2C$
  16. Cho $a,b,c\geq -1$.Chứng minh: $\frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}+\frac{c}{1+c^ {2}}\leq \frac{9}{10}$
  17. Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh rằng: $\frac{a^{5}}{b^3}+\frac{b^{5}}{c^3}+\frac{c^{5}}{ a^3}\geq \frac{a^{4}}{b^2}+\frac{b^{4}}{c^2}+\frac{c^{4}}{a ^2}$
  18. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm và không có 2 số nào đồng thời bằng không. Tìm GTNN của biẻu thức: $P=\sqrt{\frac{a+2b}{a+2c}}+\sqrt{\frac{b+2c}{b+2a }}+\sqrt{\frac{c+2a}{c+2b}}$
  19. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Chứng minh: $ \dfrac{ \cos{A} \cos{B}}{ \cos{ \dfrac{(A-B)}{2}}} + \dfrac{ \cos{B} \cos{C}}{ \cos{ \dfrac{(B-C)}{2}}}+ \dfrac{ \cos{C} \cos{A}}{ \cos{ \dfrac{(C-A)}{2}}} \le \dfrac{3}{4}$
  20. Cho $x,y,x,t\in \left[\frac{1}{2};\frac{2}{3} \right]$. Tìm GTLN và GTNN của : $$P=9\left(\frac{x+z}{x+t} \right)^{2}+16\left(\frac{x+t}{x+y} \right)^{2}$$
  21. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b=c=1 $. CMR : $\frac{1}{3^{a}}+\frac{1}{3^{b}}+\frac{1}{3^{x}}$$ \geq$ $3\left(\frac{a}{3^{a}}+\frac{b}{3^{b}}+\frac{c}{3 ^{c}} \right)$
  22. Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $C\leq B\leq A\leq 90^{o}$. Tìm GTNN của : $P=\cos \frac{A-B}{2}.\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}$
  23. Cho tam giác $ABC$ có $A>B>C$. Tìm GTNN của : $P=\sqrt{\frac{x-\sin A}{x-\sin B}}+\sqrt{\frac{x-\sin B}{x-\sin C}}-1$
  24. Cho $a,b,c >0$, Chứng minh rằng : $\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}+\frac{1 }{a^2+ab+b^2} \geq \frac{9}{(a+b+c)^2}$
  25. Tìm giá trị lớn nhất của $M=\frac{\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C}{\cos^2A+\cos^2B+ \cos^2C}$
  26. Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c>0$. Chứng minh rằng : $\frac{1}{2} \leq \frac{a^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{2b^2+(b+c)^2}+ \frac{c^2}{2c^2+(a+b)^2} \leq \frac{2}{3}$
  27. Tìm giá trị nhỏ nhất $P=tan^2x.tan^2y+tan^2y.tan^2z+tan^2z.tan^2x$
  28. Tìm max, min: $P=xy^2(8-x-2y)$
  29. Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng : $\frac{a}{a+2b+3c}+\frac{b}{b+2c+3a}+\frac{c}{c+2a +3b} \leq \sqrt{\frac{3}{2}}$
  30. Cho a,b,c>0 . Chứng minh rằng : $\frac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(c+a-b)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(a+b-c)^2}{2c^2+(a+b)^2} \geq \frac{3}{2}.\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}$
  31. Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng : $\frac{a}{(a+1)(b+2)}+\frac{b}{(b+1)(c+2)}+\frac{c }{(c+1)(a+2)} \geq \frac{1}{2}$
  32. Tìm min: $P=x^3+y^3+z^3-x^2y-y^2z-z^2x$
  33. Tìm min :$P=\frac{x}{t}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{8}{( x+y)(y+z)(z+x)}$
  34. Tìm min: $P=\sqrt{2+\frac{2x^2}{(x+y)^2}-\frac{2z(2y+z)}{(y+z)^2}}+\frac{3z}{x+z}$
  35. Tim min: $P=4xy+9yz+zx-6xyz$ với $x+y+z\leq 6$, x>0,y>0,z>0
  36. Tìm max,min:$P=x^5y^5z^5(3(xy+yz+zx)-8xyz)$
  37. Tìm max: $P=\frac{x^2}{2x^2+(y+z-x)^2}+\frac{y^2}{2y^2+(x+z-y)^2}+\frac{z^2}{2z^2+(x+y-z)^2}$
  38. Tìm max: $P=(4z+y^2)(2y+x^2)(2x+z^2)$
  39. Tìm GTNN của $a$ biết các số thực $a,\ b,\ c,\ d$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện...
  40. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $ 4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz $
  41. Chứng minh rằng $$\sqrt{a^2+ \dfrac {17}{4}ab+b^2}+ \sqrt{b^2+ \dfrac {17}{4}bc+c^2}+ \sqrt{c^2+ \dfrac {17}{4}ca+a^2} \geq \\ \sqrt{2(a+b+c)^2+49}$$
  42. Tìm Min : $P = \frac{{{x^2}}}{{x + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{y + {z^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{z + {x^2}}}$
  43. Cho $a,b,c \geqslant 0$ và a+b+c=3 Tìm max P=$\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{a+c+1} $
  44. Tìm Min :$ F = \sqrt{a^2+b^2-12a-8b+52} + \\ \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd} + \sqrt{c^2+d^2-4c+8d+20} $
  45. Cho a;b;c$\ge0$ .Chứng mỉnh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\sqrt[3]{\left(abc \right)^{2}}\ge2\left(ab+bc+ac \right)$
  46. Chứng minh : $\frac{P}{1+3P}+\frac{S^3-3SP+6P}{3(S^3-3SP)+P^2+9P} \le \frac{3}{4}$
  47. Chứng minh: $$(\dfrac{a^2+b^2}{2})^3 \geq 4(a^3+b^3)(ab-a-b)$$
  48. Cho $ x;y;z $ là các số thực thoả mãn: $ x^2+xy+y^2 \le 3 $. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $ P$ với $ P=x^2-xy+2y^2$
  49. Chứng minh: \[x^3+y^3+z^3+xyz \geq 4\]
  50. Cho các số dương $a,b,c: a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\left( {\frac{1}{{\sqrt {abc + a^2 } }} + \frac{1}{{\sqrt {abc + b^2 } }} + \frac{1}{{\sqrt {abc + c^2 } }}} \right)abc$
  51. Cho các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng $\frac{a}{b^{3}+16}+\frac{b}{c^{3}+16}+\frac{c}{a^ {3}+16} \geq \frac{1}{6}$
  52. Tìm giá trị nhỏ nhất trong đề thi HSG Toán 10 Thái Nguyên 2013
  53. CMR : $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+ \frac{c^2}{c^2+(b+a)^2} \geq \frac{3}{5}$
  54. Cho x,y là hai số thực tùy ý. tìm Min của: $P=\sqrt{(x+1)^{2} +(y-1)^{2}} +\sqrt{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}} +\sqrt{(x+2)^{2}+(y+2)^{2}}$
  55. Tìm giá trị nhỏ nhất của M=$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{2}{b^2} +\dfrac{5}{c^2}$
  56. Chứng minh : ${n^n}{\left( {n - 2} \right)^{n - 2}} > {\left( {n - 1} \right)^{2\left( {n - 1} \right)}}$
  57. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn : $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng : $$\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab} \geq 1$$
  58. Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Chứng minh rằng : $$\frac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{4yz+1}+\frac{\sqrt{y^2+ yz+z^2}}{4xz+1}+\frac{\sqrt{z^2+zx+x^2}}{4xy+1} \geq \frac{3\sqrt{3}}{4}$$
  59. Tìm giá trị nhỏ nhất của : $P=\frac{ab}{c+abc}+\frac{bc}{a+abc}+\frac{ac}{b+a bc}$
  60. Cho $a,b,c >0$ thỏa $abc=1$. Chứng minh rằng : $$\frac{1}{1+a+b^2}+\frac{1}{1+b+c^2}+\frac{1}{1+c +a^2} \leq 1$$
  61. Chứng minh $\dfrac{1}{1-ab}+\dfrac{1}{1-bc}+\dfrac{1}{1-ca} \leq \dfrac{9}{2}$.
  62. Cho $a,b,c,d \in mathbb{N^*}: a+b+c+d=2013$.Tìm Min của biểu thức: $P= a^3+ b^3+ c^3+ d^3$
  63. Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $abc=1$. CMR:$\frac{12a+7}{2a^2+1}+\frac{12b+7}{2b^2+1}+\fr ac{12c+7}{2c^2+1} \leq 19$
  64. Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng : $$a+b+c+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+ b} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$$
  65. Cho $a,b,c > 0$. Chứng minh rằng : $$\frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^ 4}{c^3+a^3} \geq \frac{a+b+c}{2}$$
  66. Cho $a,b,c > 0$. Chứng minh rằng : $$\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}+\frac{ 1}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{9}{(a+b+c)^2}$$
  67. Cho $a,b,c>0$ Thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR : $$\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1} {c^2+a^2+2}\leq \frac{3}{4}$$
  68. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng : $$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{a}+a+b+c \geq \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$$
  69. Tìm GTLN của A=$\frac{xy}{(x+1)(y+1)(x+y+1)}$ trong đó x,y là các số tự nhiên
  70. Cho $a,b,c \geq 0$ thoả mãn $a+b+c>0$. Chứng minh rằng : $$\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+ 4a+b} \leq \frac{1}{3}$$
  71. Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng : $$\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ geq \frac{3}{2}$$
  72. Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng : $$\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}+\frac{1}{(a+ b)^2} \geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^2}{4(ab+bc+ca)}$$
  73. Cho x, y, z dương. Chứng minh rằng: $\frac{8}{\sqrt{x+y+z}} \le \frac{1}{\sqrt{x}} +\frac{1}{\sqrt{y}} +\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{z}}$
  74. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác. chứng minh rằng: $$\sqrt[3]{a+b-c}+\sqrt[3]{b+c-a}+\sqrt[3]{c+a-b}\le \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$$
  75. Cho: $a_i \ge 0: \sum_{i=1}^n a_i =1$. Chứng minh rằng: $ 1 \ge \sum_{i=1}^n a_i \frac{a_i}{a_i+a_{i+1}+a_{i+2}} \le \frac{n}{3}$
  76. Tìm max của $P=\frac{3y}{x(y+1)}+\frac{3x}{y(x+1))}+\frac{1}{x +y}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}$.
  77. Chứng minh $\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+\frac{c^2+a}{ a+b}\geq 2.$
  78. CMR : $S ( \frac{1}{a+h_a}+\frac{1}{b+h_b}+\frac{1}{c+h_c}) \le \frac{p(h_a+h_b+h_c)}{2p+h_a+h_b+h_c}$
  79. Cho $a,b,c \ge 1$. Chứng minh rằng: $$ \frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2} ge 1$$
  80. Cho b>c>d, chứng minh $(a+b+c+d)^{2}>8(ac+bd)$ với mọi a
  81. Tìm GTNN : $A = {x^3}\sqrt {\frac{x}{{2y + z}}} + {y^3}\sqrt {\frac{y}{{2z + x}}} + {z^3}\sqrt {\frac{z}{{2x + y}}} $
  82. Cho bốn số dương x,y,z,t và xyzt=1.Tìm GTNN A=$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac{1 }{(1+z)^{2}}+\frac{1}{(1+t)^{2}}$
  83. Cho x,y,z tuỳ ý thuộc [0,2]. Chứng minh $\begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} y-z \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} z-x \end{vmatrix}$<$\frac{9}{2}$
  84. Cho a, b, c dương.Chứng minh: $$\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{3}{\sqrt{b}} +\frac{8}{\sqrt{3c+2a}} \geq \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{3(a+b+c}}$$
  85. Tìm Min : $P=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{ \sqrt{a}}$
  86. Cho 3 số dương $a,b,c$ thoả mãn $a,b,c>1$ và $a+b+c=abc$. Tìm GTNN của $\frac{a-1}{b^{2}}$ + $\frac{b-1}{c^{2}}$ +$\frac{c-1}{a^{2}}$
  87. Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Chứng minh rằng $\frac{a^{3}+abc}{(b+c)^{2}}+\frac{b^{3}+abc}{(a+c )^{2}}+\frac{c^{3}+abc}{(a+b)^{2}}\geq \frac{3}{2}$
  88. Tìm Giá trị nhỏ nhất của A=$\frac{2(x+y+z)^{3}+9xyz}{(x+y+z)(xy+yz+zx)}$
  89. Cho hàm số $y=f(tanx)=sin2x;\left|x \right|\leq \frac{\pi }{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của $T=f(sin^{3}2x).f(cos^{3}2x)$
  90. Chứng minh bất đẳng thức : $$\frac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}+\frac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}} \geq \sqrt{3}$$
  91. Tìm max của $\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{3c}{\sqrt{1 +c^2}}$.
  92. Tìm Max-Min $P=(x+y)\sqrt{1-y^2}$
  93. Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Chứng minh rằng : $$a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc \geq 2$$
  94. Cho $a,b,c \geq 0 $. Chứng minh rằng : $$a^3+b^3+c^3 +3abc \geq (ab+bc+ca)\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}$$
  95. Cho $x, y, z \ge 0$. Chứng minh rằng: $$\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+8zx} }+\frac{z}{\sqrt{z^2+8xy}} \ge 1$$
  96. Cho $a, b, c \ge 0: a+ b+ c =1$. Chứng minh rằng: $\frac{ab}{\sqrt{ab+bc}} + \frac{bc}{\sqrt{bc+ca}}+ \frac{ca}{\sqrt{ca+ab}} \le \frac{1}{\sqrt {2}} $
  97. Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức: $ P= 3^{|x-y|} + 3^{|y-z|} + 3^{|z-x|} - \sqrt{6x^2+6y^2+6z^2} $
  98. Chứng minh bất đẳng thức : $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+2b}\geq \frac{4}{3}$
  99. Cho a,b,c>0, $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$, $a\leq b\leq c$ Chứng minh $ab^{2}c^{3}\leq 1$
  100. Chứng minh : $\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{\left(c+a \right)^{2}}{ab+bc+ca}\geq \sqrt[4]{64}$
  101. Cho a, b, c dương thỏa mãn $a+b+c = 3$. Chứng minh rằng: $$ \frac{a(a+c-2b)}{ab+1} +\frac{b(b+c-2c)}{bc+1} +\frac{c(c+b-2a)}{ca+1} >=0$$
  102. Cho: $a, b, c \ge 0: ab+bc+ca =1 $. Chứng minh rằng: $$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c} \ge 2\sqrt{a+b+c}$$
  103. Cho: $a, b, c \ge 0$. Chứng minh rằng: $$ \sqrt{ \frac{a}{b+c}}+ \sqrt{ \frac{b}{c+a}}+ \sqrt{ \frac{c}{a+b}} \ge \frac{3}{\sqrt{2}}$$
  104. Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng : $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} +\frac{a+b+c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \geq 3+\sqrt{3}$$
  105. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng : $$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\frac{9(ab+bc+ca)}{(a^2+ b^2+c^2)} \geq 12$$
  106. Cho $a,b,c \geq 0$ . Chứng minh rằng : $$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + \frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 2$$
  107. Cho a,b,c>0. Chứng minh $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}+\frac{54abc}{(a+b+c )^{3}}\geq 5$
  108. Cho a,b,c,d>0. ; $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=4$. Chứng minh $a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}\leq 8$
  109. Cho a,b,c>0 thoả $(a+b-c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})=4$
  110. Cho a,b,c$\geq 0$ thoả $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2(ab+bc+ca)$
  111. Cho $a,b,c$ là $3$ số không âm phân biệt .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)\left[\frac{1}{\left(a-b \right)^{2}} +\frac{1}{\left(b-c \right)^{2}}+\frac{1}{\left(c-a \right)^{2}}\right]$
  112. Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn: $ab+bc+ca\leq 1$.Tìm min : $$P=\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+bc}+\frac{1}{c^2 +ca}$$
  113. Chứng minh rằng: $ \begin{cases} sin 2x + sin 2y + sin 2z =0 \\ cos 2x + cos 2y + cos 2z = 0\end{cases} $
  114. Cho $a,b,c \geq 0$. Chứng minh rằng : $$2(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq (a+1)(b+1)(c+1)(abc+1)$$
  115. Cho $a,b,c \geq 0$. Chứng minh rằng : $$a^3+b^3+c^3+4(a+b+c)+9abc \geq 8(ab+bc+ca)$$
  116. Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng : $$2(a+b+c)+(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq 9 $$
  117. Cho a,b,c $\ge 0$ thoả mãn a+b+c=3 .Tìm max $$P=a\sqrt{b^{3}+1}+b\sqrt{c^{3}+1}+c\sqrt{a^{3}+1 }$$
  118. Chứng minh rằng: $\frac{pi }{2 R}< A cos^2\frac{A}{2}+B cos^2\frac{B}{2}+C cos^2\frac{C}{2}$
  119. Cho tam giác $ABC$ nhọn. CM: $\frac{cos\frac{A}{2}}{sinB.sinC}+\frac{cos\frac{B }{2}}{sinC.sinA}+\frac{cos\frac{C}{2}}{sinA.sinB} \geq 2\sqrt{3}.$
  120. HSG Hà nội 5/4/2013 Chứng minh: $\dfrac{27a^{2}}{c\left(c^{2}+9a^{2} \right)}+\dfrac{b^{2}}{a\left(4a^{2} +b^{2}\right)}+\dfrac{8c^{2}}{b\left(9b^{2} +4c^{2}\right)}\geq \dfrac{3}{2}$
  121. Chứng minh : $\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{\sqrt{ab+bc +ca+c^{2}}}{a+b+2c}\geq \frac{5}{2}$
  122. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $abc=1$.Chứng minh rằng: $(a+b)(b+c)(c+a)+7 \geq 5(a+b+c)$
  123. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $abc=1$.Chứng minh rằng: $\dfrac{2}{a+b+c}+\dfrac{1}{3} \geq \dfrac{3}{ab+bc+ca}$
  124. Cho $a,b,c,d$ là các số thực thoả mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=1$.Chứng minh rằng :$\sum \dfrac{1}{1-ab} \le 8$
  125. Cho $x, y, z$ thực dương thoả mãn $x+y+z = \frac{3}{4}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
  126. Tìm Max : $P = {a^3}\left( {b + c + d} \right) + {b^3}\left( {c + d + a} \right) + {c^3}\left( {d + a + b} \right) + {d^3}\left( {a + b + c} \right)$
  127. Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac {y\sqrt{y}+z\sqrt{z}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{ z}+x\sqrt{x}}{z+\sqrt{zx}+x}$
  128. Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thoả mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng $$A= \frac{x}{x^2+yz+1}+\frac{y}{y^2+zx+1}+\frac{z}{z^2 +xy+1}=<1$$
  129. Cho $a, b, c \ge 0: \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=3$. Chứng minh rằng: $$\frac{1}{1+\sqrt{(a+b)^3+abc}}+\frac{1}{1+\sqrt{ (c+b)^3+abc}}+\frac{1}{1+\sqrt{(a+c)^3+abc}} \le \frac{3}{4}$$
  130. Chứng minh : $ \sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1} $
  131. Cho $a,b,c >0$ thoả mãn $abc=1$.Chứng minh rằng : $ \dfrac{1}{a^8+b^3+c}+\dfrac{1}{b^8+c^3+a}+\dfrac{1 }{c^8+a^3+b} \le 1$
  132. Chứng minh rằng nếu $a,b,c$ dương thì $\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \le \dfrac{(a+b)(a+b+2c)}{(3a+3b+2c)^2}$
  133. Cho ba số dương $a;b;c$.Chứng minh rằng: \[\frac{{6(a + b + c)(ab + bc + ca)}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}} + \frac{{{{(a + b)}^2}{{(b + c)}^2}{{(c + a)}^2}}}{{abc{{(a + b + c)}^3}}} \ge 9 + \frac{{13}}{{108}}\]
  134. $(a^{2}+b^{2}+c^{2})(ab+bc+ca)^{2}\geq \frac{27}{64}(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}$
  135. $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+\ frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}\geq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2abc\sum \frac{b+c-2a}{a(b+c)}}$
  136. Xét HPT:$\left\{\begin{matrix} a+b=c+d & \\ 2ab=c+d & \end{matrix}\right.$
  137. Cho x,y,z là các số dương thoả $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(xy+yz+zx)$
  138. Cho a,b,c là các số thực không âm thoả $a+b+c=18$
  139. Tìm GTLN của A=$a^{6}+b^{6}+c^{6}$
  140. Cho x,y,z là các số dương thay đổi thoả $4x^{2}z+4y+xy^{2}z^{2}=18z^{2}$
  141. Cho các số thục dương a,b,c thoả $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.CMR
  142. Cho các số thục a,b,c,d thoả $\frac{1}{2}\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 1$
  143. Cho a,b,c là các số thực và abc=1. CMR
  144. Cho x,y,z,t là 4 số dương nhỏ hơn 1 thoả $xyzt=(1-x)(1-y)(1-z)(1-t)$ CMR $x(1-t)+t(1-z)+z(1-y)+y(1-x)$
  145. Tìm GTLN-GTNN của biểu thức $A= \frac{a+c-b}{b} $
  146. Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng : $$\frac{\sqrt{a^2+abc}}{b+ca}+\frac{\sqrt{b^2+abc} }{c+ab}+\frac{\sqrt{c^2+abc}}{a+bc} \leq \frac{1}{2\sqrt{abc}}$$
  147. Cho $a,b,c,p,q,r>0$ thỏa mãn $p = a+b+c = 1, q =ab+bc+ca, r = abc$. Chứng minh rằng : $$r \leq \frac{q^2(1-q)}{2(2-3q)}$$
  148. Cho $a,b,c \geq 0$. Chứng minh rằng : $$\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9abc}{2(a+ b+c)^2} \geq \frac{a+b+c}{2}$$
  149. Cho x,y,z>0 thoả x+y+z=$\pi $ Tìm GTLN của A=$2cos^{2}x+sinycosz+sinzcosy+sinx+1$
  150. Topic về những bất đẳng thức giải bằng phương pháp phân tích bình phương SOS
  151. Topic về những bất đẳng thức giải bằng phương pháp phân tích bình phương hoán vị SOC
  152. Tìm max, min của: $y = \dfrac{1+ sin^6x + cos^6x}{1+ sin^4x + cos^4x}$
  153. Tìm max, min: $y = sin \dfrac{2x}{1+x^2} + cos \dfrac{4x}{1+x^2} + 1$
  154. Topic về Bất Đẳng Thức chứng minh bằng dồn biến
  155. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn......
  156. Cho $a,b,c,d,x_1,x_2,x_3,x_4,y_1,y_2,y_3,y_4$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện
  157. Chứng minh bất đẳng thức Carlson
  158. Cho $n$ số không âm $x_1, _2,...x_n$. Xét biểu thức
  159. Cho $a,b,c,d,k \geq 0$ và không có hai số nào đồng thời bằng không?
  160. Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng: $\frac{16a}{31b+23c+12\sqrt{ab}}+\frac{36b}{20a+19 c+8\sqrt{bc}}+\frac{1}{9}\left(\frac{20a+207c}{16a +36b} \right)$
  161. Chứng minh bất đẳng thức 3 biến với điều kiện cho trước
  162. Cho $x,y,z$ là 3 số dương thỏa mãn $3x^2+4y^2+5z^2=2xyz$. Chứng minh rằng $3x+2y+z \ge 6$
  163. Chứng minh : $\sqrt[3]{x+\sqrt[3]{x+...+\sqrt[3]{x}}}\geq \sqrt{sinx+\sqrt{sinx+...+\sqrt{sinx}}}$
  164. Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Tìm GTLN của: $P=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+15abc}{ab\left(a+b \right)+bc\left(b+c \right)+ca\left(c+a \right)}$
  165. CMR : $ a\sqrt[3]{a+b}+b\sqrt[3]{b+c}+c\sqrt[3]{c+a} \ge 3 \sqrt[3]2.$
  166. Cho $a,b,c\in\mathbb{R}$ thỏa mãn : $\left(\sqrt{a^2+b^4}-a\right)\left(\sqrt{b^2+a^4}-b\right)\le a^2b^2$
  167. Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a+b}{2c}}+\sqrt{\frac{b+c}{2a}}+\sqrt {\frac{c+a}{2b}}\geq \sqrt{\frac{2a}{b+c}}+\sqrt{\frac{2b}{c+a}}+\sqrt{ \frac{2c}{a+b}}$
  168. Cho a,b,c > 0, abc = 1. Chứng minh: $a+b+c\geq 2\sqrt{\frac{2}{3}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c }+\frac{c}{c+a} \right)}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
  169. Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng: $3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right)+\frac{\left(a+b+c \right)^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq 12\left(\frac{ab}{b^{2}+ac}+\frac{bc}{c^{2}+ba}+ \frac{ca}{a^{2}+cb} \right)$
  170. Cho a,b,c > 0. Chứng minh: $3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right)\geq 2\sqrt{2}\left(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b} {c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \right)+3$
  171. Cho a,b,c > 0. abc = 1. CMR: $\frac{1}{a^{3}\left(b^{2}+c^{2} \right)}+\frac{1}{b^{3}\left(c^{2}+a^{2} \right)}+\frac{1}{c^{3}\left(a^{2}+b^{^{2}} \right)}\geq \frac{4}{5}\left(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+ \frac{ca}{c+a} \right)$
  172. Cho a,b,c > 0. Chứng minh: $\left(\frac{a}{b+c} \right)^{2}+\left(\frac{b}{c+a} \right)^{2}+\left(\frac{c}{a+b} \right)^{2}+\frac{abc}{\left(a+b \right)\left(b+c \right)\left(c+a \right)}\geq \frac{7}{8}$
  173. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì $$\left( 2a+2b-c \right)\left( 2b+2c-a \right)\left( 2c+2a-b \right)>25abc$$
  174. Tìm k tự nhiên lớn nhất để bất đẳng thức: $2\left(\frac{a+b}{2} \right)^{k+1}\geq a^{k}b+b^{k}a$ đúng với mọi số thực dương a và b
  175. Chứng minh rằng $(a^2+8)(b^2+8)(c^2+8)\geq 144(ab+bc+ca)$
  176. Luyện tập Phương pháp đổi biến p,q,r
  177. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P = \frac{{ab + 1}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{{bc + 1}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{ca + 1}}{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}}$
  178. Chứng minh: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}\geq \frac{2(a+b)}{a+b+2c}$
  179. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left(3-a \right)\left(3-b \right)\left(3-c \right)\left(\frac{1}{a^{2}b^{2}} +\frac{1}{b^{2}c^{2}}+\frac{1}{c^{2}a^{2}}\right)$
  180. Chứng minh BĐT:$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge q \frac{4}{a^2+7}+\frac{4}{b^2+7}+\frac{4}{c^2+7}$
  181. Chứng minh bất đẳng thức : $\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\geq \frac{3}{2} $ biết $xyz=1$
  182. Chứng minh $a+b+c\ge ab+bc+ca$ với $a,b,c > 0: ab+bc+ac+abc=4$.
  183. CMR : $\frac{1}{xy+1} +\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1}\leq \frac{5}{x+y+z}$
  184. Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh rằng ${{\left( a+b+c \right)}^{3}}\ge 6\sqrt{3}\left| \left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right) \right|$
  185. Cho $a,b,c$ là các số không âm , chứng minh ${{\left( a+b+c \right)}^{5}}\ge 25\sqrt{5}\left( ab+bc+ca \right)\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right)$
  186. Chứng minh rằng $ 3(a^3b+b^3c+c^3a)+16(ab+bc+ca) \leq 57.$ Đẳng thức xảy ra khi nào?
  187. Chứng minh rằng $ \dfrac{a}{(b+c)^2}+\dfrac{b}{(c+a)^2}+\dfrac{c}{(a +b)^2}+\dfrac{2(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \dfrac{3(a+b+c)}{2(ab+bc+ca)}. $
  188. Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $ a\sqrt{\dfrac{a+b}{a+5c}}+b\sqrt{\dfrac{b+c}{b+5a} }+c\sqrt{\dfrac{c+a}{c+5b}} \geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt{3}}.$
  189. Chứng minh $\sum \sqrt{\frac{1}{yz}+\frac{1}{x}}-\sum \frac{1}{\sqrt{x}}\geq 1$
  190. Cho a, b, c là các số thực thỏa $a+b=1$. Tìm min $P=a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}$
  191. Cho các số thực dương $ a,b,c $ thỏa mãn $ abc=1 $.Chứng minh rằng $ \dfrac{1}{a^{12}+b^8+c^{2013}}+\dfrac{1}{b^{12}+c^ 8+a^{2013}}+\dfrac{1}{c^{12}+a^8+b^{2013}} \leq 1, $
  192. Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $ \dfrac{1}{2+a^3b}+\dfrac{1}{2+b^3c}+\dfrac{1}{2+c^ 3a} \geq 1.$
  193. Cho các số thực không âm $ a,b,c $, không có hai số nào đồng thời bằng $ 0 $ thỏa mãn $ a+b+c=1 $.Chứng minh rằng $ \dfrac{a}{\sqrt[3]{a+b}}+\dfrac{b}{\sqrt[3]{b+c}}+\dfrac{c}{\sqrt[3]{c+a}} \leq \dfrac{31}{27} $
  194. Cho các số thực không âm $ a,b,c $ thỏa mãn $ ab+bc+ca=3$.Chứng minh rằng $ \sqrt{3a^2+13bc}+\sqrt{3b^2+13ca}+\sqrt{3c^2+13ab} \geq 12.$
  195. Cho các số thực không âm $ a,b,c $ thỏa mãn $ ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng $ \sqrt{a^2+b^2+7bc}+\sqrt{b^2+c^2+7ca}+\sqrt{c^2+a^ 2+7ab}\ge 9.$
  196. Cho các số thực không âm $ a,b,c $ thỏa mãn $ ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng $ \sqrt{a^2+b^2+7bc}+\sqrt{b^2+c^2+7ca}+\sqrt{c^2+a^ 2+7ab}\ge 9.
  197. Cho các số thực không âm $ a,b,c,d $ thỏa mãn $ a+b+c+d=4 $.Chứng minh rằng $ a^3b+b^3c+c^3d+d^3a+23abcd \leq 27 $
  198. Câu bất đẳng thức trong đề thi chọn đội tuyển lần I - chuyên Bến Tre
  199. Cho a,b,c > 0,abc = 1. CMR: $\frac{4}{3}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c} {a} \right)\geq \sqrt{\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}}+\sqrt{\frac{b+c}{b^ {2}+c^{2}}}+\sqrt{\frac{c+a}{c^{2}+a^{2}}}+\sqrt{ \frac{a+b+c}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
  200. Cho a, b, c là ba số không âm thoả a+b+c=3. Chứng minh rằng : $\frac{1}{(b+c)^{2}+6}+\frac{1}{(c+a)^{2}+6}+\frac {1}{(a+b)^{2}+6}\geq \frac{3}{10}$
  201. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=\prod_{k=0}^{7} |x-k|; x \in[3; 4]$
  202. Chứng minh rằng : $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge \frac{3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{ab+bc+ca}$
  203. Cho a,b,c là các cạnh của tam giác, CMR $\frac{{{\left( b+c-a \right)}^{4}}}{a\left( a+b-c \right)}+\frac{{{\left( c+a-b \right)}^{4}}}{b\left( b+c-a \right)}+\frac{{{\left( a+b-c \right)}^{4}}}{c\left( c+a-b \right)}\ge ab+bc+ca$
  204. Tìm số thực $\alpha$ lớn nhất thỏa mãn
  205. Cho $a,b,c>0 , $ Và $\sum \frac{1}{1+a}\geq 2$ CMR $abc\leq \frac{1}{8}$
  206. Chứng minh rằng $$a^3+b^3+c^3<d^3+e^3.$$
  207. Cho n thuộc N Chứng minh $\frac{n+1}{2}>\sqrt[n]{n!}$
  208. Chứng minh $$a^2+b^2+c^2 \geq p^2+r^2+4Rr.$$
  209. Chứng minh $\frac{1+cos\frac{A}{2}}{A}+\frac{1+cos\frac{B}{2} }{B}+\frac{1+cos\frac{C}{2}}{C}\geq 3\sqrt{3}$
  210. Tìm GTNN của; P = $\frac{1}{(1+a)^{2}} + \frac{1}{(1+b)^{2}} + \frac{1}{(1+c)^{2}} + \frac{4}{(1+a)(1+b)(1+c)}$
  211. Bài bất đẳng thức trong đề thi chọn đội tuyển trường chuyên Hà Tĩnh
  212. Tìm GTLN và GTNN của hàm số: $y = \frac{2\sqrt{x}-\sqrt{1-x}+4}{\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+2}$
  213. TOPIC Chứng minh rằng với $a,b,c$là độ dài 3 cạnh của tam giác và $k$à số thực tùy ý hãy tìm giá trị lớn nhất(nhỏ nhất) để BĐT đúng lúc này hãy chứng minh rằng :
  214. Chứng minh rằng nếu a,b,c dương thì: $\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}+\sqrt{ \frac{a+b}{c}}\geq \sqrt{\frac{16\left(a+b+c \right)^{3}}{3\left(a+b \right)\left(b+c \right)\left(c+a \right)}}$
  215. Cho các số a,b,c không âm chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{\sqrt{4a^{2}+ab+4b^{2}}}+\frac{b^{2} }{\sqrt{4b^{2}+bc+4c^{2}}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{4c^{ 2}+ca+4a^{2}}}\geq \frac{a+b+c}{3}$
  216. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: $\left(ab + c^{2} \right)\left(bc + a^{2} \right)\left(ca + b^{2} \right) \ \geq abc\left(a + b \right)\left(b + c \right)\left(c + a \right)$
  217. Tìm GTLN,GTNN của biểu thức $P=\frac{2\left(2x+1 \right)\left(2x+18y+13 \right)}{12xy+18y^2+8x+30y+13}$
  218. Chứng minh bất đẳng thức
  219. Tìm giá trị lớn nhất : $P= \sqrt{a^{2}+a-1}+\sqrt{b^{2}+b-1}+\sqrt{c^{2}+c-1}$
  220. CMR: $\frac{1}{(1+a)^2}+ \frac{1}{(1+b)^2}+ \frac{1}{(1+c)^2} + \frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)} \geq 1$
  221. Chứng minh rằng: $$ \left(a+\dfrac{1}{b}-1 \right) \left(b+\dfrac{1}{c}-1 \right)\left(b+\dfrac{1}{c}-1 \right)\left(c+\dfrac{1}{a}-1 \right)\left(c+\dfrac{1}{a}-1 \right)\left(a+\dfrac{1}{b}-1 \right) \geq 3.$$
  222. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : $f\left( x \right) = {\left( {32{x^5} - 40{x^3} + 10x - 1} \right)^{2014}} + {\left( {16{x^3} - 12x + \sqrt 5 - 1} \right)^{2012}}$
  223. $\sum a^{2}b^{2}(a-b)^{2}\geq (a-b)^{2}(b-c)^{2}(c-a)^{2}$
  224. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Chứng minh BĐT sau: $\frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$
  225. Cho các số dương $a_{1},a_{2},...,a_{n},a_{n+1}$. Chứng minh rằng:
  226. Cho $\ a, b, c$ là các số dương thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 =3$. Chứng minh rằng:$\frac{a}{a^2+2b + 3} + \frac{b}{b^2 + 2c + 3} + \frac{c^2 + 2a +3}\leq \frac{1}{2}$
  227. Chứng minh rằng trong một tam giác
  228. Cho a,b,c là 3 số dương chứng minh rằng
  229. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^4 + b^4 + c^4 = 3$. Tìm GTLN của P = $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}$
  230. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác. chứng minh rằng: $\sqrt[3]{a+b-c}+\sqrt[3]{b+c-a}+\sqrt[3]{c+a-b}\le \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$
  231. Tài liệu Kỉ thuật phân tích bình phương SOS
  232. Tìm GTLN $P = {x^2} + {y^2} + {z^2}$
  233. Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $y^2\geq xz$ và $z^2\geq xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = $\frac{x}{x+y} + \frac{y}{y+z} + \frac{3z}{z+x}$
  234. Cho các số thực x,y,z thay đổi thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2+z^2 = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = $\left(xy + yz+2zx \right)^2 - \frac{8}{(x+y+z)^2 - xy - yz +2}$
  235. Tìm giá trị nhỏ nhất của của thức
  236. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng :$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca) \ge 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$
  237. Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng : $a+b+c+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+b } \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
  238. Cho tam giác $ABC$. Tìm giá trị lớn nhất của $M=\frac{\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C}{\cos^2A+\cos^2B+ \cos^2C}$
  239. Cho $a,b,c \geq 0$. Chứng minh rằng : $a^3+b^3+c^3+4(a+b+c)+9abc \geq 8(ab+bc+ca)$
  240. Cho ba số a,b,c không đồng thời bằng 0, thỏa mãn $(a+b+c)^2=2(a^2+b^2+c^2)$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
  241. Chứng minh bất đẳng thức $\frac{{x + 1}}{{x + 2}} + \frac{{y + 1}}{{y + 2}} + \frac{{z + 1}}{{z + 2}} \ge 2$
  242. Cho x,y,z là ba số thực dương. TÌm GTNN của: $A=max\left(x,y,z;\frac{19}{x^{3}}+\frac{3}{y^{4}} + \frac{2013}{z^{3}(x^{2}+8y)}\right)$
  243. Chứng minh rằng :$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2} \leq 1$
  244. Tìm GTLN , GTNN $A = \frac{{\sqrt {tanx + 1} - 1}}{{tanx + 4}}$
  245. Cho các thực a,b,c chứng minh rằng: $\sqrt{a^{2}+2ab+6b^{2}}+\sqrt{b^{2}+2bc+6c^{2}}+ \sqrt{{c^{2}+2ac+6a^{2}}}\geq a+b+c$
  246. Cho a,b,c dương và abc=1 C/m $\frac{a^2+bc}{a^2(b+c)}+\frac{b^2+ca}{b^2(a+c)}+\ frac{c^2+ab}{c^2(a+b)}\geq ab+bc+ca$
  247. Cho a,b,c dương chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{b+c}{a^2+bc}+\frac{c+a}{b^2+ca}+\frac{a+b}{c ^2+ab}$
  248. Tìm hằng số dương k lớn nhất sao cho với mọi a,b,c dương BĐT sau luôn đúng $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 3\sqrt[k]{\frac{a^k+b^k+c^k}{3}}$
  249. Cho a,b,c là các số thực tùy ý. C/m $\frac{1}{(2a-b)^2}+\frac{1}{(2b-c)^2}+\frac{1}{(2c-a)^2}\geq \frac{11}{7(a^2+b^2+c^2)}$
  250. Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=9$. C/m $3min(a,b,c) \leq 1+abc$